Le cercle circonscrit à un triangle
Découvre ce qu'est le cercle circonscrit à un triangle, comment le construire et son centre particulier : le centre du cercle circonscrit.
Objectifs de la leçon
- Définir le cercle circonscrit à un triangle.
- Savoir construire le centre du cercle circonscrit (le point de concours des médiatrices).
- Comprendre que ce centre est équidistant des trois sommets du triangle.
Et si un seul cercle pouvait passer par les trois sommets de n'importe quel triangle ? Découvrons-le ensemble !
Dans ce chapitre, nous allons étudier un cercle très spécial lié à un triangle. Imagine que tu doives placer trois amis (les sommets du triangle) sur un même manège circulaire. Le centre de ce manège doit être à égale distance de chacun d'eux. Ce manège, c'est le cercle circonscrit ! Nous allons apprendre à le trouver et à le construire.
1. Définition du cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle. On dit qu'il est 'circonscrit' car il entoure le triangle. Les trois sommets du triangle sont des points de ce cercle.
Exemple :
Pour un triangle ABC, le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les points A, B et C.
Attention ! Un triangle possède toujours un cercle circonscrit et un seul. Son centre a un nom et une propriété très importante.
2. Le centre du cercle circonscrit
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des trois médiatrices de ce triangle. Rappel : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
Ce point est souvent noté O. Il est équidistant des trois sommets du triangle : OA = OB = OC. Cette distance égale est le rayon du cercle circonscrit.
Exemple :
Dans un triangle ABC, on trace la médiatrice du côté [AB] et celle du côté [BC]. Le point où elles se coupent est le centre O du cercle circonscrit. La médiatrice de [AC] passera aussi par ce même point O.
3. Comment le construire ?
Pour construire le cercle circonscrit à un triangle ABC, suis ces étapes avec ta règle et ton compas :
- Trace la médiatrice du côté [AB].
- Trace la médiatrice du côté [BC] (ou de [AC]).
- Marque le point d'intersection de ces deux médiatrices. C'est le centre O.
- Place la pointe du compas sur O et écarte-le jusqu'à un sommet (A, B ou C).
- Trace le cercle. Il doit passer par les trois sommets !
La précision est importante ! Trace des médiatrices soigneusement pour que les trois droites se coupent en un point précis.
4. Cas particuliers
La position du centre O dépend de la nature du triangle :
- Triangle acutangle (3 angles aigus) : O est à l'intérieur du triangle.
- Triangle rectangle : O est le milieu de l'hypoténuse. L'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
- Triangle obtusangle (un angle obtus) : O est à l'extérieur du triangle.
C'est une propriété très utile pour reconnaître ou démontrer qu'un triangle est rectangle.
À retenir
- Le cercle circonscrit à un triangle passe par ses trois sommets.
- Son centre est le point de concours (point d'intersection) des trois médiatrices du triangle.
- Ce centre est équidistant des trois sommets.
- Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
Fiche de révision : Le cercle circonscrit
Définition
Cercle qui passe par les 3 sommets d'un triangle.
Centre
Point d'intersection des médiatrices du triangle. Noté O.
Propriété fondamentale
OA = OB = OC (rayon du cercle).
Construction
1) Tracer 2 médiatrices. 2) Leur intersection donne O. 3) Tracer le cercle de centre O passant par un sommet.
Triangle rectangle
Le centre est au milieu de l'hypoténuse.
Questions fréquentes
Est-ce que tous les triangles ont un cercle circonscrit ?
Oui, absolument ! Tout triangle, qu'il soit rectangle, isocèle, équilatéral ou quelconque, possède un unique cercle circonscrit.
Pourquoi utilise-t-on les médiatrices pour trouver le centre ?
Parce que le centre doit être à égale distance des sommets. Or, tous les points de la médiatrice d'un segment sont justement à égale distance des extrémités de ce segment. L'intersection des médiatrices est donc le point à égale distance des trois sommets.
Que se passe-t-il si le triangle est équilatéral ?
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, les hauteurs, les médianes et les bissectrices sont confondues. Le centre du cercle circonscrit est aussi le centre du cercle inscrit et le point de concours de toutes ces droites. Il est situé à l'intérieur du triangle.
